Polynomdivision Rechner: Schritt-für-Schritt online lösen

Willkommen bei unserem Polynomdivision Rechner! Wenn dir Begriffe wie “Nullstellenberechnung” oder “kubische Funktionen” Kopfzerbrechen bereiten, bist du hier genau richtig. Die Polynomdivision sieht auf den ersten Blick vielleicht einschüchternd aus, aber sie ist ein unglaublich nützliches Werkzeug in der Mathematik.

Im Grunde ist sie nichts anderes als die schriftliche Division, die du schon aus der Grundschule kennst – nur eben mit “Buchstaben” (Variablen wie x) statt nur mit Zahlen.

Auf leichtrechnen.de möchten wir, dass du den Rechenweg nicht nur siehst, sondern auch verstehst. Unser Rechner gibt dir deshalb nicht nur die fertige Lösung, sondern zeigt dir den kompletten Rechenweg Schritt-für-Schritt. So kannst du deine Hausaufgaben kontrollieren, für die nächste Klausur lernen und die Logik dahinter wirklich nachvollziehen.

Gib einfach oben dein Polynom (den Dividenden) und das Polynom, durch das du teilen möchtest (den Divisor), ein und klicke auf “Berechnen”!

Was ist eine Polynomdivision überhaupt?

Erinnern wir uns an die schriftliche Division: Wenn du 125 : 5 rechnest, prüfst du, wie oft die 5 in die 12 passt, rechnest zurück, ziehst ab und holst die nächste Ziffer herunter.

Die Polynomdivision funktioniert nach exakt demselben Prinzip. Du teilst ein “großes” Polynom durch ein “kleineres” Polynom.

Die Hauptdarsteller bei jeder Polynomdivision sind:

  • Dividend: Das ist das Polynom, das geteilt wird. (z. B. x^3 + 2x^2 – 5x + 1)
  • Divisor: Das ist das Polynom, durch das geteilt wird. (z. B. x – 1)
  • Quotient: Das ist das Ergebnis deiner Rechnung.
  • Rest: Manchmal geht die Rechnung nicht glatt auf. Der kleine Teil, der am Ende übrig bleibt, ist der Rest.

Die allgemeine Formel lautet:

Dividend : Divisor = Quotient + (Rest / Divisor)

Unser Rechner findet für dich den Quotienten und den Rest – ganz automatisch und fehlerfrei.

Der wichtigste Anwendungsfall: Nullstellen finden

Der häufigste Grund, warum du im Matheunterricht die Polynomdivision brauchst, ist die Berechnung von Nullstellen bei Funktionen, die “komplizierter” als quadratische Funktionen sind.

Das Problem:

Bei einer Funktion wie f(x) = x^2 – 4x + 3 (eine quadratische Funktion) kennst du den Weg: Du nutzt einfach die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel, um die Nullstellen zu finden.

Aber was machst du bei einer Funktion 3. Grades (kubischen Funktion) wie dieser?

f(x) = x^3 – 4x^2 + 5x – 2

Hier versagen p-q-Formel und Mitternachtsformel. Der Trick ist, die Funktion auf ein x^2-Problem zu “verkleinern” – und genau das leistet die Polynomdivision.

Von $x^3$ zu $x^2$ in 3 Schritten

Um die Nullstellen von f(x) = x^3 – 4x^2 + 5x – 2 zu finden, gehst du so vor:

  1. Erste Nullstelle raten (oder durch Probieren finden):
    Dieser Schritt ist entscheidend. Du testest einfache ganze Zahlen, die Teiler des letzten Glieds (hier die -2) sind. Also probierst du: 1, -1, 2, -2.
    • Setzen wir x = 1 in die Funktion ein:
      f(1) = 1^3 – 4(1)^2 + 5(1) – 2 = 1 – 4 + 5 – 2 = 0
    • Treffer! Da 0 herauskommt, wissen wir, dass x_1 = 1 die erste Nullstelle ist.
  2. Linearfaktor bilden:
    Wenn x = 1 eine Nullstelle ist, dann ist der zugehörige “Linearfaktor” immer $(x – \text{Nullstelle})$, also in unserem Fall (x – 1). Dieser Linearfaktor muss ein perfekter Teiler unserer Funktion sein.
  3. Polynomdivision durchführen:
    Jetzt teilst du deine ursprüngliche Funktion durch den gefundenen Linearfaktor.
    (x^3 – 4x^2 + 5x – 2) : (x – 1) = ?
    Wenn du das in unseren Rechner eingibst oder von Hand rechnest, erhältst du als Ergebnis (Quotient): x^2 – 3x + 2.
  4. Restliche Nullstellen berechnen:
    Mit diesem Ergebnis x^2 – 3x + 2 kannst du jetzt ganz einfach die p-q-Formel anwenden, um die restlichen beiden Nullstellen zu finden (welche x_2=1 und x_3=2 sind).

Die Polynomdivision ist also dein wichtigstes Werkzeug, um den Grad eines Polynoms zu reduzieren und es so lösbar zu machen.

So rechnest du die Polynomdivision von Hand (Schritt-für-Schritt)

Unser Rechner nimmt dir die Arbeit ab, aber deine Lehrkraft möchte den Rechenweg in der Klausur sehen. Lasst uns das Beispiel von oben gemeinsam von Hand rechnen. Wir zeigen dir, dass wir den Prozess verstehen.

Aufgabe: (x^3 – 4x^2 + 5x – 2) : (x – 1)

Schritt 1: Den ersten Teil des Quotienten finden

Du konzentrierst dich nur auf den ersten Term des Dividenden (x^3) und den ersten Term des Divisors (x).

Du rechnest: x^3 : x = x^2.

Das ist der erste Teil deines Ergebnisses (Quotient).

(x^3 – 4x^2 + 5x – 2) : (x – 1) = x^2

Schritt 2: Zurück multiplizieren und abziehen (Subtrahieren)

Jetzt nimmst du deinen gefundenen Teil (x^2) und multiplizierst ihn mit dem ganzen Divisor (x – 1).

x^2 \cdot (x – 1) = x^3 – x^2

Dieses Ergebnis schreibst du (in Klammern!) unter den Dividenden und ziehst es ab:

(x^3 – 4x^2 + 5x – 2) : (x – 1) = x^2

-(x^3 – x^2)

-3x^2

(Hier passiert der erste häufige Fehler: -4x^2 – (-x^2) wird zu -4x^2 + x^2, was -3x^2 ergibt.)

Schritt 3: “Herunterholen” und den Prozess wiederholen

Jetzt holst du den nächsten Term vom Dividenden nach unten, die +5x.

Deine neue Zeile lautet: -3x^2 + 5x.

(x^3 – 4x^2 + 5x – 2) : (x – 1) = x^2 – 3x

-(x^3 – x^2)

-3x^2 + 5x

Und das Spiel beginnt von vorn (wie in Schritt 1):

  1. Teilen: Rechne -3x^2 : x = -3x. Das ist der zweite Teil deines Ergebnisses.
  2. Multiplizieren: Rechne -3x \cdot (x – 1) = -3x^2 + 3x.
  3. Abziehen: Schreibe das Ergebnis darunter und ziehe es ab.

-3x^2 + 5x

-(-3x^2 + 3x)

2x

(Wieder auf die Vorzeichen achten: 5x – (+3x) = 2x)

Schritt 4: Der letzte Durchgang

  1. Herunterholen: Hole den letzten Term, die -2, nach unten. Deine Zeile lautet 2x – 2.
  2. Teilen: Rechne 2x : x = 2. Das ist der dritte Teil deines Ergebnisses.
  3. Multiplizieren: Rechne 2 \cdot (x – 1) = 2x – 2.
  4. Abziehen:

2x – 2

-(2x – 2)

0

Es bleibt ein Rest von 0 übrig. Die Rechnung ging perfekt auf.

Endergebnis (Quotient): x^2 – 3x + 2

Wichtige Sonderfälle und Regeln

Jetzt wird es spannend. Hier sind die beiden häufigsten Probleme, bei denen Schüler Punkte verlieren.

Stolperfalle 1: “Lücken” im Polynom richtig behandeln

Was machst du bei dieser Aufgabe: (x^3 – 2x + 4) : (x – 1)?

Dir fällt vielleicht auf, dass der $x^2$-Term fehlt. Beim handschriftlichen Rechnen (und auch bei der Eingabe in viele Rechner) führt das zu Fehlern, weil die Terme nicht mehr untereinander passen.

Die Lösung: Du musst die Lücke künstlich mit einer Null auffüllen.

Schreibe statt x^3 – 2x + 4 immer:

x^3 + 0x^2 – 2x + 4

Dadurch behältst du die Struktur bei und dein Rechenweg bleibt sauber und korrekt. Unser Rechner auf leichtrechnen.de ist so programmiert, dass er diese Lücken erkennt, aber es ist eine wichtige Regel, die du für deine eigenen Rechnungen kennen musst.

Stolperfalle 2: Was passiert, wenn ein Rest übrig bleibt?

Nicht jede Division geht glatt auf. Stell dir vor, du rechnest (x^2 + 5x + 7) : (x + 2).

Wenn du hier die Polynomdivision durchführst, wirst du am Ende nicht 0, sondern einen Rest von 1 erhalten.

Das Ergebnis (der Quotient) ist x + 3.

Man schreibt das vollständige Ergebnis dann so:

(x^2 + 5x + 7) : (x + 2) = x + 3 + \frac{1}{x+2}

Was bedeutet das für die Nullstellensuche?

Wenn bei deiner Nullstellensuche (wie in unserem Beispiel oben) ein Rest übrig bleibt, bedeutet das nur eins: Die geratene Zahl war KEINE Nullstelle! Du musst zurück zu Schritt 1 gehen und eine andere Zahl zum Raten ausprobieren.

Typische Fehler, die du unbedingt vermeiden solltest

Als Experten für Lernhilfen sehen wir bei leichtrechnen.de jeden Tag dieselben Fehler. Achte auf diese Punkte, um deine Note zu verbessern:

  1. Der Vorzeichen-Fehler (Der Klassiker):
    Beim Abziehen (Schritt 2) musst du das gesamte Produkt abziehen.
    Aus -( -3x^2 + 3x ) wird + 3x^2 – 3x.
    Ein einziger Vorzeichenfehler hier macht die gesamte restliche Rechnung falsch. Schreibe immer Klammern, um dich selbst daran zu erinnern!
  2. Nicht richtig “auffüllen” (Der Lücken-Fehler):
    Wie oben beschrieben. Wenn x^2 fehlt, MUSS 0x^2 geschrieben werden.
  3. Falsch heruntergeholt:
    Es darf pro Schritt immer nur ein nächster Term von oben heruntergeholt werden. Nicht mehrere auf einmal.

Beim Raten verrechnet:
Wenn du die erste Nullstelle rätst und dich dabei verrechnest (z.B. f(1) = 1 statt 0), wirst du bei der Polynomdivision einen Rest erhalten und ewig nach dem Fehler suchen. Kontrolliere deine geratene Nullstelle immer doppelt!

Alternative für Profis: Das Horner-Schema

Vielleicht hast du schon vom Horner-Schema (manchmal auch Synthetische Division genannt) gehört. Es ist ein alternatives, oft schnelleres Verfahren zur Polynomdivision.

Der Haken: Das Horner-Schema funktioniert nur, wenn dein Divisor ein einfacher Linearfaktor der Form (x – a) ist (z.B. (x – 3) oder (x + 5)).

Es funktioniert NICHT für Divisoren wie (x^2 + 2x – 1) oder (2x – 4).

Fazit:

  • Horner-Schema: Schnell und elegant, aber nur für den Spezialfall der Nullstellensuche.
  • Polynomdivision: Der universelle “Alles-Könner”. Sie funktioniert immer, egal wie der Divisor aussieht.

Es lohnt sich, die Polynomdivision zu beherrschen, da sie das grundlegendere und universellere Werkzeug ist.

Jetzt bist du dran!

Theorie ist wichtig, aber Mathematik lernt man nur durch Üben. Nutze unseren Polynomdivision Rechner, um deine Aufgaben zu lösen, deine Ergebnisse zu überprüfen und dir den Rechenweg so oft anzusehen, bis er “klick” macht.

Probier es mit deinen eigenen Aufgaben aus oder starte mit diesen Beispielen:

  • (x^3 + 6x^2 – 5x – 30) : (x + 2)
  • (2x^4 – x^3 + 5x – 10) : (x – 1)
  • (x^3 – 8) : (x – 2) (Achtung, Lücken-Fehler!)

Gib die Terme oben ein und sieh zu, wie unser Tool dir den kompletten Rechenweg aufschlüsselt!

Häufig gestellte Fragen (FAQ)

Die Polynomdivision ist ein mathematisches Verfahren, um ein Polynom (z.B. x^3 + 2x^2 + 1) durch ein anderes Polynom (z.B. x – 1) zu teilen. Es funktioniert wie die schriftliche Division in der Grundschule, nur eben mit x-Termen. Man erhält einen Quotienten (Ergebnis) und einen Rest.

Hauptsächlich zur Nullstellenberechnung von Funktionen ab dem 3. Grad (z.B. x^3). Wenn du eine Nullstelle (z.B. x=2) geraten hast, teilst du die Funktion durch den Linearfaktor (x-2). Das Ergebnis ist ein Polynom mit kleinerem Grad (z.B. x^2), dessen restliche Nullstellen du einfach berechnen kannst (z.B. mit der p-q-Formel).

Beim Rechnen von Hand musst du diese Lücken mit Nullen auffüllen (z.B. x^3 + 0x^2 + 2x + 0). Unser Rechner ist schlau und erkennt diese Lücken oft automatisch. Zur Sicherheit ist das manuelle Hinzufügen von 0x^2 aber immer eine gute Idee, um die Struktur zu verstehen und Fehler zu vermeiden.

Der Rest ist das, was “übrig bleibt”, wenn die Division nicht glatt aufgeht. Wenn beim Teilen von (x^2 + 3x + 3) durch (x + 1) ein Rest von 1 bleibt, bedeutet das, dass (x + 1) kein exakter Teiler ist. Bei der Nullstellensuche bedeutet ein Rest (außer 0), dass deine geratene Zahl keine Nullstelle war.

Das Vorzeichen! Beim Subtrahieren (Abziehen) der einzelnen Schritte musst du eine Klammer setzen und jeden Term in der Klammer umkehren. Beispiel: Aus -(2x^2 – 4x) wird -2x^2 + 4x. Ein kleiner Fehler hier macht die ganze Rechnung falsch. Achte penibel auf die Minuszeichen!

Nein. Die Polynomdivision ist das universelle Verfahren; sie funktioniert immer, egal wie der Divisor aussieht (z.B. x^2+2). Das Horner-Schema ist ein schnelleres “Spezial-Werkzeug”, das nur funktioniert, wenn du durch einen einfachen Linearfaktor wie (x-a) (z.B. (x-3)) teilst.

Der Rechner gibt dir nicht nur die Lösung (Quotient und Rest), sondern zeigt dir vor allem den kompletten “Rechenweg”. Du kannst jeden einzelnen Subtraktionsschritt nachvollziehen, den du auch von Hand rechnen müsstest. So kannst du deine eigenen Rechnungen kontrollieren und den Ablauf verstehen.

Der Dividend ist das Polynom, das geteilt wird (der Term, der vorne steht, z.B. x^3…). Der Divisor ist das Polynom, durch das geteilt wird (der Term, der hinten steht, z.B. x-1). Die Rechnung lautet also immer: Dividend : Divisor = Quotient.

Ein Rest von 0 ist super! Es bedeutet, dass die Division “glatt aufgegangen” ist. Der Divisor ist ein perfekter Teiler des Dividenden. Wenn du dies bei der Nullstellensuche erhältst (z.B. beim Teilen durch (x-1)), bestätigt es, dass x=1 tatsächlich eine korrekte Nullstelle ist.

(z.B. x^2 geteilt durch x^3)

Das ist wie der Versuch, 5 durch 10 schriftlich zu teilen. Die Rechnung ist sofort zu Ende. Der Quotient ist 0, und der Rest ist der komplette Dividend (in diesem Fall x^2). Unser Rechner erkennt dies automatisch und gibt das korrekte Ergebnis aus.

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